2.6.3. Первая краевая задача. Теорема о максимуме и минимуме
Типичной краевой задачей для параболических уравнений является
следующая задача. Обозначим через
G
криволинейный четырехугольник
на плоскости
,,tx
ограниченный отрезками прямых
0
tt
и
tT
0
Tt
и кривыми
1
xt
и
2
,xt
где
1
и
2
– непрерывные функции и
при
0
.t t T
Часть границы области
,G
состоящую из
отрезка прямой
0
tt
и кривых
1
xt
и
2
,xt
обозначим через
(рис.2.7). Требуется найти непрерывную в области
G
и на ее границе
функцию
,,u t x
удовлетворяющую внутри
G
уравнению
2
2
uu
t
x

и
принимающую на
значения заданной на
непрерывной функции
.f
Поставленная задача называется первой краевой задачей для
уравнения теплопроводности. В том случае, когда область
G
является
прямоугольником
:0 , 0 ,Q x l t T
к первой краевой задаче
теплопроводности приводит, например, задача о нахождении температуры
,u t x
в теплоизолированном стержне, если известна его начальная
температура при
0t
и известна температура на концах стержня в
последующее время. При решении этой задачи очень существенно, что
решение ищется при
0.t
Аналогичная задача для отрицательных
t
x
T
t
0
x =
1
(t)
x =
2
(t)
Рис. 2.7
значений
t
не имеет решения. Уравнение
2
2
uu
t
x

в противоположность
уравнению колебаний струны
22
22
uu
tx


существенно меняется при замене
t
на
.t
Это – типичное уравнение необратимого процесса.
6Б7 (Теорема о максимуме и минимуме). Всякое решение